Energieerhaltungssatz

 

Im vorherigen Kapitel haben wir schon an Beispielaufgaben gesehen, dass die an einem Körper verrichtete Arbeit nicht verloren geht, sondern in dem Körper als Energie gespeichert wird. Diese im Körper gespeicherte Energie bleibt konstant, wenn ein geschlossenes System vorliegt, d.h. niemand greift von außen wieder ein. Wir formulieren jetzt einmal den Energieerhaltungssatz für die mechanische Energieformen (potentielle Energie, kinetische Energie und Spannenergie).

 

 

Energieerhaltungssatz

 

In einem geschlossenen System bleibt die Gesamtenergie konstant.

 

Mit den mechanischen Energien kann man den Satz in folgender Gleichung

veranschaulichen:

 

m ∙ g ∙ h0 + ½ ∙ m ∙ (v0)2 + ½ ∙ D ∙ (s0)2 = m ∙ g ∙ h1 + ½ ∙ m ∙ (v1)2 + ½ ∙ D ∙ (s1)2

 

wobei der Index „0“ bzw. „1“ zwei verschiedene Zeitpunkte betrifft, zu denen das System angesehen wird. „0“ könnte der Startpunkt sein und „1“ ein späterer Zeitpunkt.

 

 

In diesem Kapitel wollen wir vor allen an mehreren Beispielaufgaben zeigen, wie man diesen Erhaltungssatz zur Berechnung unbekannter Größen benutzen kann. Mit dem Energieerhaltungssatz kann man sehr einfach unbekannte Größen bestimmen, da es überhaupt keine Rolle spielt, wie man vom Zeitpunkt t0 zum Zeitpunkt t1 gelangt ist.

 

Beispielaufgaben

 

 

1. Aufgabe: es gibt nur potentielle und kinetische Energie

 

Herleitung einfacher Formeln

 

 

Vorgabe: zum Startzeitpunkt t0 gibt es nur kinetische und potentielle

Energie. Es findet nur eine Umwandlung innerhalb dieser Energieformen

statt.

Es gilt somit:

 

 

Zu der Herleitung der Formeln und der Berechnung von Übungsaufgaben gibt es auch ein Lernvideo, das man

hier findet: Lernvideo

 

Zu den einfachen Formeln jetzt entsprechende Aufgaben.

 

1.1. Freibadaufgabe:  nach h1 gefragt

 

In einem Freibad springt eine Person vom 10 m Brett

a.) ohne Anlauf

b.) mit einem Anlauf (v0 = 4 m/s)

 

In welcher Höhe weist die Person eine Geschwindigkeit von 10 m/s auf?

Gerechnet wird für beide Fälle.

 

Lösungen:

 

zu a.) ohne Anlauf bedeutet, dass er sich einfach „runterplumpsen“ lässt, somit

keine Anfangsgeschwindigkeit aufweist. Die kinetische Energie ist also zum

Zeitpunkt t0 nicht vorhanden.

 

Die „Grundgleichung“ lautet dann:

Die Formel für h1 wird dann zu:

 

Einsetzen ergibt also:

 

 

zu b.) diesmal gilt die „Grundgleichung“ vollständig und somit auch die

vollständige Lösungsformel, also:

 

 

Wir ändern die Fragestellung jetzt etwas.

 

1.2. Freibadaufgabe:  nach v1 gefragt

 

In einem Freibad springt eine Person vom 10 m Brett

a.) ohne Anlauf

b.) mit einem Anlauf (v0 = 4 m/s)

 

Welche Geschwindigkeit weist die Person in einer Höhe von 3 m auf?

 

Lösungen:

 

zu a.) s. oben: v0 = 0 m/s;   Ekin,0 = 0 J

vereinfachte „Grundgleichung“ gilt (s. oben)

 

vereinfachte Lösungsformel und Ergebnis:

 

 

zu b.) s. oben

 

 

1.3. Freibadaufgabe:  nach v0 gefragt

 

In einem Freibad springt eine Person vom 10 m Brett.

Die Person weist beim Eintauchen eine Geschwindigkeit von 14,44 m/s auf?

Wie groß war die Anlaufgeschwindigkeit?

 

Lösung:

 

Es ist nach v0 gefragt. v1 ist diesmal mit 14,44 m/s bekannt. Man muss

die „Grundgleichung“ nach v0 umstellen. h1 = 0 m, da wir uns auf der

Wasseroberfläche befinden. Es ergeben sich folgende Formeln und

Ergebnisse:

 

1.4. Wurfaufgabe:  nach h0 gefragt

 

Wir haben ja schon den schiefen Wurf kennengelernt und gesehen, dass hier

recht komplizierte Formeln auftreten. Man muss ziemlich viele Größen kennen,

um andere Größen berechnen zu können.

Der Energieerhaltungssatz verhilft uns jetzt dazu, dass manche Größen, wie

Höhen und Geschwindigkeiten, sehr einfach mit hiermit bestimmt werden können.

 

Hierzu folgendes Beispiel:

Ein Ball aus einer Höhe h0 schief in den Raum mit einer Anfangsgeschwindigkeit

von v0 = 10 m/s geworfen. In einer Höhe h1 = 2,76 m weist der Ball eine

Geschwindigkeit von v1 = 12 m/s auf. Aus welcher Höhe wurde der Ball

abgeworfen?

 

Lösung:

 

Zunächst wird man vielleicht meinen, dass einige wichtige Größen, wie die

Masse und der Abwurfwinkel fehlen. Die Masse spielt bei den Bewegungs-

gleichungen des schiefen Wurfes keine Rolle, weil beim „Freie Fall“ die Fall-

beschleunigung für alle Massen gleich groß ist (s. Superpositionsprinzip).

Im Energieerhaltungssatz ist sie aus dem gleichen Grund nicht notwendig.

Man erkennt ja in der Herleitung der „Grundgleichung“ (s. oben), dass sich die

Masse herauskürzt.

Der Abwurfwinkel würde bei den Bewegungsgleichungen zur Berechnung nötig

sein, spielt aber bei dem Energieerhaltungssatz keine Rolle, da hier nur der

Höhenunterschied wichtig ist.

Wir setzen also mit dem Energieerhaltungssatz („Grundgleichung“) an und

stellen nach h0 um. Er ergibt sich dann:

 

2. Aufgabe: alle mechanischen Energien liegen vor

 

Wenn alle mechanischen Energien in der Aufgabe vorkommen, muss man auf

die allgemeine Energieerhaltungsgleichung zurückkehren, da man nicht mit „m“

teilen kann. Es gilt also:

 

m ∙ g ∙ h0 + ½ ∙ m ∙ (v0)2 + ½ ∙ D ∙ (s0)2 = m ∙ g ∙ h1 + ½ ∙ m ∙ (v1)2 + ½ ∙ D ∙ (s1)2

 

Folgende Aufgabe dazu:

 

2.1. Aufgabe: Airsoft-Aufgabe: Berechnung von Geschwindigkeiten

 

Im Geländespiel „Airsoft“ wird ähnlich dem Paintball mit Spielzeugpistolen

(Softairwaffen) geschossen. Als Munition dienen kleine Kunststoffkugeln.

Die Waffe besteht im Wesentlichen aus einer Feder, die vor dem Abschuss

gespannt wird.

 

Eine Softairwaffe habe eine Federkonstante von 450 N/m. Es wird Munition

mit einer Masse von 0,0003 kg benutzt. Die Feder wird um 10 cm gespannt.

Die Waffe wird waagerecht gehalten.

Hinweis: Sowohl beim Dehnen einer Feder, als auch beim Spannen (Zusammendrücken) einer Feder gilt das Hookesche Gesetz.

a.) Mit welcher Geschwindigkeit verlässt die Munition die Mündung der Waffe?

[Zur Kontrolle: v0 = 122,4745 m/s]

b.) Die Munition trifft mit einer Aufprallgeschwindigkeit von 122,5945 m/s auf dem Boden auf. In welcher Höhe wurde die Waffe gehalten?

 

Lösung:

 

2.2. Schwingende Schraubenfeder: Geschwindigkeit gefragt (extrem komplex)

 

Bei einer schwingenden Feder (s. harmonische Schwingung) sieht es auf den ersten Blick recht kompliziert aus (s. Energie Federschwingung).

Im Folgenden gibt es noch einmal die Ausführungen aus dem Kapitel „Energie

Federschwingung“ in Kopie:

 

 

 

 

 

Beispielaufgabe

 

 

In dem Kapitel „Energie Federschwingung“ wird aber auch gezeigt, dass man die

Aufgabe deutlich schneller rechnen kann.

 

 

 

 

 

Liste von Links:

 

 

 

 

 

  

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