Energie

 

Zusammenhang Energie-Arbeit

 

Um den Zusammenhang zwischen Arbeit und Energie deutlich zu machen, schauen wir

uns zunächst einmal eine Übungsaufgabe an.

 

Beispielaufgabe

 

 

Aufgabe:

 

Man hebt einen Körper mit der Masse m = 50 kg um 15 m. Danach wird er losgelassen und fällt im freien Fall auf den Boden.

a.) Bestimmen Sie die verrichtete Hubarbeit.

b.) Nach welcher Zeit trifft der Körper auf dem Boden auf (freier Fall)?

     Welche Geschwindigkeit weist er dann auf?

c.) Berechnen Sie die Beschleunigungsarbeit, die vom Körper (durch

     die Gewichtskraft) verrichtet wurde.

 

 Lösung:

 

  

 

 

Welche Erkenntnisse gewinnen wir aus der Beispielaufgabe?

 

1.) Wenn man von außen Arbeit an einem Körper verrichtet hat, hat er neue Möglichkeiten.

     Er kann jetzt selber Arbeit verrichten. Man muss nicht mehr von außen eingreifen.

     Die am Körper von außen verrichteter Arbeit geht also nicht verloren. Sie wird im Körper

     gespeichert und kann von ihm zur eigenen Arbeitsverrichtung benutzt werden.

     Diese gespeichert Arbeit wird als Energie bezeichnet. Der Körper hat einen neuen

     Zustand erreicht. Er besitzt jetzt Energie.

2.) Die vom Körper zu verrichtende Arbeit (hier Beschleunigungsarbeit) kann nie größer

     als die reingesteckte Arbeit sein. Im Maximalfall ist sie genauso groß wie die vorher

     von außen an ihm verrichtete Arbeit (s. unten: genauere Betrachtung).

 

Wir halten fest:

 

 

Energie

 

Die an einem Körper verrichtete Arbeit wird im Körper gespeichert. Man

spricht dann davon, dass der Körper Energie gewonnen hat.

Energie ist also so etwas wie „gespeicherte Arbeit“. Diese Energie kann zur Arbeitsverrichtung benutzt werden.

 

Oder anders formuliert:

Wenn ein Körper Arbeit verrichten kann, muss er Energie besitzen.

Kurzform: Energie = Arbeitsvermögen

 

Aus der Festlegung ergibt sich, dass Arbeit und Energie dieselbe Einheit

„Joule“ besitzen.

 

 

Arbeit und Energie sind also ganz eng miteinander verbunden. Arbeit ist eine dynamische

Größe. Es passiert etwas.

Energie ist eine statische Größe. Ein Körper besitzt Energie durch besondere Eigenschaften, die der Körper aufweist.

 

Wird an einem Körper Hubarbeit verrichtet, speichert er diese Arbeit als Lageenergie bzw.

potentielle Energie. Ein Körper besitzt somit Lageenergie, wenn er höher als der Erdboden

liegt.

Ein Körper besitzt Bewegungsenergie bzw. kinetische Energie, wenn er sich bewegt, also

eine bestimmte Geschwindigkeit aufweist, weil er durch Beschleunigungsarbeit auf diese

Geschwindigkeit gebracht wurde.

Spannarbeit an einer Feder führt dazu, dass die Feder Spannenergie besitzt.

 

Da die Energien sich jeweils aus den Arbeiten ergeben, gelten auch die gleichen Formeln

wie bei den Arbeiten.

 

Es ergibt sich somit:

 

 

Mechanische Energieformen

 

Potentielle Energie = Lageenergie:                 Epot = m ∙ g ∙ h

 

Kinetische Energie = Bewegungsenergie:     Ekin = ½ ∙ m ∙ v2

 

Spannenergie:                                                  Espann = ½ ∙ D ∙ s2

 

 

Hierzu ein paar kleine Beispielaufgaben.

 

Beispielaufgaben zu den Energieformen

 

 

Aufgabe zur Lageenergie:

 

In einem Freizeitpark wird in einem Fallturm die voll besetzte Gondel von 25,5 t 66m hochgezogen.

Wie groß ist die potentielle Energie, die die Gondel dann aufweist?

 

Lösung:

 

Epot = m ∙ g ∙ h = 25 500 kg ∙ 9,81 N/kg ∙ 66 m = 16 510 230 J = 16,51 MJ

 

Aufgabe zur kinetischen Energie:

 

Ein PKW mit einer Masse von 2,5 t fährt mit einer Geschwindigkeit von

90 km/h. Welche kinetische Energie besitzt der PKW?

 

Lösung:

 

Ekin = ½ ∙ m ∙ v2 = ½ ∙ 2500 kg ∙ (25 m/s)2 = 781 250 J = 781,25 kJ

 

Aufgabe zur Spannenergie:

 

An eine Feder mit der Federkonstanten D = 120 N/m wird eine Masse von 2 kg

gehängt. Die Feder wird dadurch gespannt. Wie groß ist jetzt die in der Feder

gespeicherte Spannenergie?

 

Lösung:

 

Zunächst muss die Ausdehnung mittels Hookeschem Gesetz berechnet werden.

Es gilt für die Kraftbeträge FF = FG, da im Ruhezustand (also bei angehängter Masse) die Federkraft der Feder FF die nach unten wirkende Gewichtskraft FG

der Masse aufhebt.

 

Ansatz: FF = FG , also D ∙ x = m ∙ g          umstellen nach x

 

x = ( m ∙ g ) / D = ( 2 kg ∙ 9,81 N/kg ) / 120 N/m = 0,1635 m = 16,35 cm

 

also beträgt die Ausdehnung 16,35 cm

 

Einsetzen in die Formel für die Spannenergie ergibt

 

Espann = ½ ∙ D ∙ s2 = ½ ∙ 120 N/m ∙ (0,1635 m)2 = 1,603935 J

 

 

Wir schauen uns noch einmal die erste Beispielaufgabe an und ändern die Fragestellung

ein wenig.

Beispielaufgabe

 

 

Aufgabe:

 

Man hebt einen Körper mit der Masse m = 50 kg um 15 m. Danach wird er losgelassen und fällt im freien Fall herunter.

a.) Bestimmen Sie die potentielle Energie, die die Masse nach dem Hochheben

     besitzt.

b.) Man betrachtet jetzt die Masse beim Fall in einer Höhe von 10 m.

     Wie groß ist in dieser Höhe die potentielle Energie und die kinetische Energie?

c.) Bestimme die Summe aus kinetischer und potentieller Energie in h = 10 m und

     vergleiche diese mit der am Anfang (h = 15 m) vorliegenden Energie.

 

Lösung:

 

zu a.) potentielle Energie = verrichtete Hubarbeit = 7357,5 J (s.oben)

zu b.) Berechnung von v in 10 m mit der Formel von oben ergibt:

          s = 5 m;  t = 1,009638 s;  v = 9,904549 m/s

          Ekin = ½ ∙ m ∙ v2 = 2452,5 J

          Epot = m ∙ g ∙ h = 4905 J

zu c.) E(10m) = Ekin (10m) + Epot (10m) = 2452,5 J + 4905 J = 7357,5 J

                      = E (Anfang) = E (15m)

 

 

Man erkennt, dass die am Anfang vorhandene Energie (EStart) erhalten bleibt, wenn

der Körper Arbeit verrichtet, d.h. es gilt:

 

 

EStart = Espäter

 

 

Dies gilt allerdings nur, wenn von außen nach dem Start keine weitere Arbeit verrichtet wird,

d.h. das System muss geschlossen sein.

 

Man kann diese Gleichung auch ganz allgemein zeigen, wie folgende Herleitung zeigt:

 

Allgemeine Herleitung

 

 

Aufgabe:

 

Man hebt eine Masse m um die Höhe h0. Danach lässt man die Masse los.

Die Masse fällt dann um die Strecke s und befindet sich auf der Höhe h1.

 

Berechne die Anfangsenergie! Bestimme danach die Summe der Energien

( Epot + Ekin ) in der Höhe h1.

 

Lösung:

 

Berechnung der Anfangsenergie EStart oder E0 :

 

E0 = m  g ∙ h0 = EStart

 

Berechnung der Gesamtenergie zum Zeitpunkt t1 :

Es werden die Formeln aus der ersten Beispielaufgabe benutzt.

 

E1 = m ∙ g ∙ h1 + ½ ∙ m ∙ v2 = m ∙ g ∙ h1 + ½ ∙ m ∙ ( g ∙ t1 )2

     = m ∙ g ∙ h1 + ½ ∙ m ∙ g2 ∙ (t1)2 = m ∙ g ∙ h1 + ½ ∙ m ∙ g2  2 ∙ s / g

     = m ∙ g ∙ h1 + m ∙ g ∙ s = m ∙ g ∙ ( h1 + s ) = m ∙ g ∙ h0

 

also gilt:       E0 = E1      die Energie hat sich nicht verändert.

 

Die Energie ist konstant geblieben.

 

 

 

Diese Erkenntnis ist so wichtig, dass wir ihr ein eigenes Kapitel widmen müssen.

Es geht um den Energieerhaltungssatz.

Hinweis: Wer sich fragt, was denn jetzt mit der Startenergie passiert ist, wenn der Körper auf dem Boden angekommen ist

( Epot = 0 J und Ekin = 0 J, also Egesamt = 0 J, wo ist die Energie hin?), sollte sich den zweiten Link ansehen.

Unser Problem ist, dass wir im Augenblick nur über mechanische Energien sprechen.

 

 

 

 

Übungsaufgaben (in Arbeit)

 

 

 

  

Nächstes Kapitel: Energieerhaltungssatz