Untersuchung einfacher Bewegungen

Gleichmäßig beschleunigte (geradlinige) Bewegung

 

Unter einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung versteht man eine

Bewegung mit konstanter Beschleunigung. Wann liegt überhaupt eine

beschleunigte Bewegung vor? In der Physik spricht man immer dann

von einer Beschleunigung, wenn sich die Geschwindigkeit im Laufe

der Zeit ändert. Es liegt eine positive Beschleunigung vor, wenn es zu

einer Geschwindigkeitszunahme kommt. Falls die Geschwindigkeit ab-

nimmt, liegt eine negative Beschleunigung vor.

Hieraus ergibt sich sehr schnell eine Formel zur Bestimmung der

Durchschnittsbeschleunigung, nämlich

 

 

 

 

Es ergibt sich somit die Einheit:

 

 

 

Wir wollen jetzt das folgende Video mit Hilfe der Videoanalyse unter-

suchen.

 

 

Das Video muss auf dem eigenen Rechner gespeichert werden.Um

eine Analyse vorzunehmen, braucht man ein Videoanalyseprogramm.

In folgendem Link wird VIMPS zum Download zur Verfügung gestellt.

Das Programm muss noch extrahiert werden.  DOWNLOAD

Zur Messung mittels der Videoanalyse gibt es ein eigenes Kapitel: Videoanalyse (LINK)

 

Nach der Erfassung der Messwerte mittels Videoanalyse werden die Werte mittels einer Tabellenkalkulation ausgewertet.

Nach Erfassung der Messwerte ergibt sich folgende Exceldatei, wenn

man das Videoanalyseprogramm VIMPS benutzt:

 

 

Da uns nur die x-Koordinate interessiert, erzeugen wir jetzt zunächst

eine Spalte, die den Strecken entspricht (Hinweis: das Minuszeichen ergibt

sich durch die Nullpunktwahl). Außerdem wird aus dem Zeitabstand von

0,04 s die zugehörige Zeit berechnet.

 

 

Aus den Werten Strecke und Zeit lässt sich in Excel sehr schnell ein t-s-Diagramm gewinnen:

 

 

Da sich im t-s-Diagramm offensichtlich als Trendlinie ("Realwerte ohne

Messfehler") keine Gerade ergibt, kann keine gleichförmige Bewegung

vorliegen. Wir untersuchen weiter, indem wir ein t2-s−Diagramm auf-

stellen Wir müssen also jetzt eine "Zeit zum Quadrat"-Spalte in Excel

erstellen:

 

 

Das t2-s−Diagramm hat dann folgendes Aussehen:

 

 

Offensichtlich liegt jetzt ein linearer Zusammenhang vor, so dass man

als Trendlinie die Gerade eintragen lassen kann. Man erhält dann

folgendes Bild, wobei auch schon die Formel für die Trendlinie ange-

geben ist. Es liegt eigentlich, wie man schnell überlegen kann, eine

Ursprungsgerade vor, die Excel wegen der Messfehler allerdings nur

angenähert erhält.

 

 

Mathematisch bedeutet dies, dass zwischen t und s folgende Gleich-

ung gilt:

 

 

Es liegt also ein quadratischer Zusammenhang vor, wobei k der

Steigung der Geraden entspricht. In obigen Fall hat k also den Wert

k = 1,9569. Da auf der Abszisse t2 und auf der Ordinate s aufgetragen

ist, ergibt sich für die Steigung (also für k) die Einheit m/s2. Es gilt

somit für k der Wert k = 1,9569 m/s2.

 

Somit erhalten wir im konkreten Fall des beschleunigenden Autos

 

 

Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm

 

Wie gewinnt man jetzt aus der Bewegungsgleichung, die die Abhängig-

keit zwischen Zeit und Weg angibt, eine Beziehung zwischen Zeit und

Geschwindigkeit, also ein t-v−Diagramm? Nun ist es zunächst mal kein

Problem aus der t-s−Beziehung Durchschnittsgeschwindigkeiten zu

bestimmen (s.gleichförmige Bewegung).

Zum Beispiel: Wollen wir die Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeit-

raum zwischen 2 s und 4 s bestimmen, müssen wir nur die Weg-

strecke für t = 2 s und die Wegstrecke für t = 4 s mit Hilfe unserer

Formel

bestimmen. Es gilt dann also:

 

 

Wählen wir jetzt das Intervall extrem klein, z. Bsp. nur 0,000001 s,

dann lässt sich ebenfalls das obige Verfahren anwenden, da man ja

mit Hilfe der Formel die Wegstrecken bestimmen kann. Bei sehr

kleinen Zeitintervallen entspricht aber die Durchschnittsgeschwindig-

keit praktisch der Momentangeschwindigkeit, so dass wir somit eine

Möglichkeit haben, zu jedem Zeitpunkt Momentangeschwindigkeiten

zu bestimmen, wenn wir nur das Zeitintervall extrem klein wählen.

Wir führen zunächst wieder ein Beispiel durch. Gesucht ist für die

obige Bewegung die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 4 s.

Man wählt jetzt einen zweiten Zeitpunkt, der sehr nahe an t = 4 s liegt,

z. B. t = 4,000001 s. Jetzt wird die Durchschnittsgeschwindigkeit be-

stimmt, die dann der Momentangeschwindigkeit entspricht. Die Berech-

nung sieht dann folgendermaßen aus:

 

 

Dies kann man jetzt für jeden beliebigen anderen Zeitpunkt durch-

führen und erhält dann ein t-v−Diagramm. Am schnellsten gehen die Berechnungen mit Excel.

[Hinweis: Mit etwas Mathematik kann man die Gleichung für die Momentangeschwindigkeit auch direkt gewinnen.

In der Mathematik geht es hier um die Ableitung von s(t) nach t. Die Durchschnittsgeschwindigkeit entspricht

dort dem Differenzenquotienten. Es gilt dann: v(t) = s'(t)]

 

Es ergeben sich folgende Excel-Tabellen und Diagramme:

 

 

 

 

Man erkennt sofort, dass ein linearer Zusammenhang (Ursprungs-

gerade) zwischen Zeit und Geschwindigkeit besteht. Die Funktions-

gleichung lautet also v = c ∙ t, wobei c die Steigung der Geraden be-

deutet.  Man erkennt auch, dass die Steigung der t-v-Gerade doppelt

so groß ist wie bei der t2-s−Gerade. Es gilt also: c = 2 k.

Konkret also v = 3,9138 m/s2 ∙ t. Die Einheit ergibt sich aus den Ein-

heiten der Geschwindigkeit m/s durch die Einheit der Zeit s.

 

Wir fassen zusammen:

 

 

 

Welche Bedeutung hat im t-v-Diagramm die Steigung der Geraden? Falls man die Steigung mittels Steigungsdreieck bestimmen möchte, müsste man folgende Formel benutzen:

 

 

Dies entspricht der Durchschnittsbeschleunigung (s. oben). Da eine

Gerade vorliegt, liegt in jedem Zeitintervall dieselbe Durchschnitts-

beschleunigung vor, damit entspricht diese der Momentanbe-

schleunigung. Für die Bewegung des grauen Autos gilt also:

 

 

 

Der PKW führt also eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung

durch. Man spricht von einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung.

Da c = a = 2 k ist, gilt also insgesamt für eine gleichmäßig beschleunig-

te Bewegung:

 

 

 

 

Diese Bewegungsgleichungen gelten, wenn die Streckenmessung s

mit t = 0 s beginnt. Falls bei t = 0 s schon eine Strecke s0 zurückgelegt

hat und/oder sich schon bei t = 0 s mit der Geschwindigkeit v0  bewegt,

gilt:

 

 

 

 

 

 

Beispielaufgaben

1. Aufgabe: (leicht)

a.) Ein E-Auto beschleunigt gleichmäßig von 0 auf 100 km/h

in 5 s. Wie groß die Beschleunigung? Welche Strecke legt

es in der Zeit zurück?

b.) Tesla plant (2018) ein Auto mit „Raketenantrieb“, welches

eine Beschleunigung von 25 m/s2 aufweisen soll.

(entspricht in etwa der mittleren Beschleunigung der Saturn V).

In welcher Zeit beschleunigt dieser PKW von 0 auf 100 km/h ?

 

Lösung:

zu a.)

gegeben: v = 100 km/h = 27,8 m/s; t = 5 s; gleichmäßig beschleunigt

gesucht: a; s

 

zu b.)

gegeben: a = 25 m/s2; v = 100 km/h

gesucht: t

 

 

2. Aufgabe: (mittel)

Ein PKW schafft gleichmäßig beschleunigt in 5 s eine Strecke

von 45 m. Wie lange braucht es für 80 m und welche Ge-

schwindigkeit weist es bei 80 m auf?

 

Lösung:

gegeben: s1 = 45 m; t = 5 s; s2 = 80 m

gesucht: t; v

 

Zunächst wird a bestimmt aus den ersten beiden Angaben.

Danach wird dann t und v berechnet.

 

 

3. Aufgabe: (schwer)

Ein PKW beschleunigt gleichmäßig über eine Strecke von

150 m mit a = 7 m/s2. Welche Geschwindigkeit weist der PKW

dann auf? Wie lange braucht er für die 150 m?

 

Lösung:

gegeben: a = 7 m/s2, s = 150 m

gesucht: v; t

 

Es gibt als Standardformeln nur:

 

I.)  s = ½ ∙ a ∙ t2   und II.) v = a ∙ t

 

In beiden Formeln wird zur Berechnung „t“ benötigt. „t“ ist

aber nicht angegeben. Man muss also eine neue Formel

aufstellen, in der „t“ fehlt und nur die gegebenen Größen

vorkommen. Hierzu kann man eine Formel nach „t“ auflösen

und diese dann in die andere Formel einsetzen.

 

 

4. Aufgabe: (sehr schwer)

Ein PKW fährt zunächst gleichförmig mit 50 km/h in einer

geschlossenen Ortschaft. Am Ortsschild beschleunigt er auf

einer Strecke von 80 m auf 100 km/h.

Bestimmen Sie die Zeitdauer der Beschleunigung und die

Größe der Beschleunigung.

Stellen Sie hierzu zunächst für den allgemeinen Fall eine

Formel für t und a auf. Berechnen Sie danach die konkreten

Werte für die Aufgabenstellung.

 

Lösung:

gegeben: v1 = 100 km/h ≈ 27,8 m/s; v0 = 50 km/h ≈ 13,9 m/s

s = 80 m

gesucht: a; t;

 

Da schon vor der Beschleunigung eine Anfangsgeschwin-

digkeit v0 zum Zeitpunkt t = 0 s (Ortsausgang) vorliegt,

müssen die komplexeren Formeln benutzt werden.

Es gibt als Standardformeln:

 

I.) s = ½ ∙ a ∙ t2  + v0 ∙ t + s0  und  II.) v = a ∙ t + v0

mit s0 = 0 m (Streckenmessung ab Ortsausgang, also bei t = 0 s)

 

In beiden Formeln wird zur Berechnung von t „a“ benötigt.

„a“ ist aber nicht angegeben. Man muss also eine neue

Formel aufstellen, in der „a“ fehlt und nur die gegebenen

Größen vorkommen. Hierzu kann man eine Formel nach „a“

auflösen und diese dann in die andere Formel einsetzen.

 

 

 

 

Liste von Links

 

1.) Mathematischer Exkurs zur Herleitung der Bewegungsgleichungen

2.) Video eines bremsenden Autos zur Auswertung:

hier kann ein bremsendes Auto ausgewertet werden. Bei geschickter Wahl

des Nullpunkts sieht man, dass es sich um eine gleichmäßig beschleunigte

Bewegung mit negativer Beschleunigung handelt

 

 

  

 

                                  Übungsaufgaben

                                  Klausuraufgaben

 

 

 

 

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