Untersuchung einfacher Bewegungen
Gleichmäßig beschleunigte  (geradlinige) Bewegung
Unter einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung versteht man eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung. Wann liegt überhaupt eine beschleunigte Bewegung vor? In der Physik spricht man immer dann von einer Beschleunigung, wenn sich die Geschwindigkeit im Laufe der Zeit ändert.  Es  liegt eine positive Beschleunigung vor, wenn es zu einer Geschwindigkeitszunahme kommt. Falls die Geschwindigkeit abnimmt, liegt eine negative Beschleunigung vor.
Hieraus ergibt sich sehr schnell eine Formel zur Bestimmung der Durchschnittsbeschleunigung, nämlich
 
 
 
 
Es ergibt sich somit die Einheit:
 
 
 
 
Wir wollen jetzt das folgende Video mit Hilfe der Videoanalyse untersuchen.
 
 
 
- Download :Videoanalyseprogramm VIMPS   muss noch extrahiert werden
 
 
Zur Messung mittels der Videoanalyse gibt es ein eigenes Kapitel: Videoanalyse (LINK). Nach der Erfassung der Messwerte mittels Videoanalyse werden die Werte mittels einer Tabellenkalkulation ausgewertet.
Nach Erfassung der Messwerte ergibt sich folgende Exceldatei, wenn man das Videoanalyseprogramm VIMPS benutzt:
 
 
Da uns nur die x-Koordinate interessiert, erzeugen wir jetzt zunächst eine Spalte, die den Strecken entspricht (Hinweis: das Minuszeichen ergibt sich durch die Nullpunktwahl). Ausserdem wird aus dem Zeitabstand von 0,04 s die zugehörige Zeit berechnet.
 
 
Aus den Werten Strecke und Zeit lässt sich in Excel sehr schnell ein t-s-Diagramm gewinnen:
 
Da sich im t-s-Diagramm offensichtlich als Trendlinie ("Realwerte ohne Messfehler") keine Gerade ergibt, kann keine gleichförmige Bewegung vorliegen. Wir untersuchen weiter, indem wir ein t^2-s-Diagramm aufstellen (Hinweis: t^2 steht für Zeit zum Quadrat). Wir müssen also jetzt eine "Zeit zum Quadrat"-Spalte in Excel erstellen:
 
 
Das t^2-s-Diagramm hat dann folgendes Aussehen:
 
 
Offensichtlich liegt jetzt ein linearer Zusammenhang vor, so dass man als Trendlinie die Gerade eintragen lassen kann. Man erhält dann folgendes Bild, wobei auch schon die Formel für die Trendlinie angegeben ist. Es liegt eigentlich, wie man schnell überlegen kann, eine Ursprungsgerade vor, die Excel wegen der Messfehler allerdings nur angenähert erhält.
 
 
Mathematisch bedeutet dies, dass zwischen t und s folgende Gleichung gilt:
 
 
 
 
Es liegt also ein quadratischer Zusammenhang vor, wobei k der Steigung der Geraden entspricht. In obigen Fall hat k also den Wert k = 1,9569. Da auf der Abzisse t^2 und auf der Ordinate s aufgetragen ist, ergibt sich für die Steigung (also für k) die Einheit m/s^2. (Hinweis "^" steht für "hoch 2"). Es gilt somit für k der Wert k = 1,9569 m/s^2 .
 
Somit erhalten wir im konkreten Fall des beschleunigenden Autos
      
 
Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm
 
Wie gewinnt man jetzt aus der Bewegungsgleichung, die die Abhängigkeit zwischen Zeit und Weg angibt, eine Beziehung zwischen Zeit und Geschwindigkeit, also ein t-v-Diagramm? Nun ist es zunächst mal kein Problem aus der t-s-Beziehung Durchschnittsgeschwindigkeiten zu bestimmen (s.gleichförmige Bewegung).
Zum Beispiel: Wollen wir die Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitraum zwischen 2 s und 4 s bestimmen, müssen wir nur die Wegstrecke für t = 2 s und die Wegstrecke für t = 4 s mit Hilfe unser Formel
bestimmen. Es gilt dann also:
 
Wählen wir jetzt das Intervall extrem klein, z.Bsp. nur 0,000001 s, dann lässt sich ebenfalls das obige Verfahren anwenden, da man ja mit Hilfe der Formel die Wegstrecken bestimmen kann. Bei sehr kleinen Zeitintervallen entspricht aber die Durchschnittsgeschwindigkeit praktisch der Momentangeschwindigkeit, so dass wir somit eine Möglichkeit haben, zu jedem Zeitpunkt Momentangeschwindigkeiten zu bestimmen, wenn wir nur das Zeitintervall extrem klein wählen. Wir führen zunächst wieder ein Beispiel durch. Gesucht ist für die obige Bewegung die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 4 s. Man wählt jetzt einen zweiten Zeitpunkt, der sehr nahe an t = 4 s liegt, z.Bsp. t = 4,000001 s. Jetzt wird die Durchschnittsgeschwindigkeit bestimmt, die dann der Momentangeschwindigkeit entspricht. Die Berechnung sieht dann folgendermaßen aus:
 
Dies kann man jetzt für jeden beliebigen anderen Zeitpunkt durchführen und erhält dann ein t-v-Diagramm. Am schnellsten gehen die Berechnungen mit Excel. [Hinweis: Mit etwas Mathematik kann man die Gleichung für die Momentangeschwindigkeit auch direkt gewinnen. In der Mathematik geht es hier um die Ableitung von s(t) nach t. Die Durchschnittsgeschwindigkeit entspricht dort dem Differenzenquotienten. Es gilt dann: v(t) = s'(t)]
Es ergeben sich folgende Excel-Tabellen und Diagramme:
 
 
 
 
Man erkennt sofort, dass ein linearer Zusammenhang (Ursprungsgerade) zwischen Zeit und Geschwindigkeit besteht. Die Funktionsgleichung lautet also  v = c  t, wobei c die Steigung der Geraden bedeutet.  Man erkennt auch, dass die Steigung der t-v-Gerade doppelt so groß ist wie bei der t^2-s-Gerade. Es gilt also: c = 2 k.
Konkret also v = 3,9138 m/s^2  t. Die Einheit ergibt sich aus den Einheiten der Geschwindigkeit m/s durch die Einheit der Zeit s.
 
Wir fassen zusammen:
 
 
 
 
Welche Bedeutung hat im t-v-Diagramm die Steigung der Geraden? Falls man die Steigung mittels Steigungsdreieck bestimmen möchte, müsste man folgende Formel benutzen:
 
 
Dies entspricht der Durchschnittsbeschleunigung (s.oben). Da eine Gerade vorliegt, liegt in jedem Zeitintervall dieselbe Durchschnittsbeschleunigung vor, damit entspricht diese der Momentanbeschleunigung. Für die Bewegung des grauen Autos gilt also:
 
 
 
 
 
Der PKW führt also eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung durch. Man spricht von einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Da c = a = 2 k ist, gilt also insgesamt für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung:
 
 
 
 
 
 
Diese Bewegungsgleichungen gelten, wenn die Streckenmessung s mit t = 0 s beginnt. Falls bei t = 0 s schon eine Strecke s0 zurückgelegt hat und/oder sich schon bei t = 0 s mit der Geschwindigkeit v0  bewegt, gilt:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Download: Video eines bremsenden Autos      hier kann ein bremsendes Auto          
ausgewertet werden. Bei geschickter Wahl des Nullpunkts sieht man, dass es         
sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit negativer Beschleunigung handelt