|
Optimaler Wurfwinkel für maximale
Weite (ohne Reibung) 1. Allgemeine Betrachtungen: Beim schiefen Wurf haben wir festgestellt, dass sW seinen größten Wert annimmt, wenn der Abwurfwinkel α = 45° beträgt. Leider be- zieht sich sw aber auf die horizontale Entfernung zu dem Punkt der Bahnkurve, der in der gleichen Höhe wie der Abwurfpunkt liegt. Somit kann man diesen Winkel für die größte Weite nur wählen, wenn man vom Boden „abwirft“, also z.Bsp. beim Fußballspiel oder Golfspiel. In vielen Fällen wird aber in einer ganz bestimmten Höhe h abge- worfen, z.B. Kugelstoßen, Sperrwerfen. Diskuswerfen, Volleyball, Handball, Basketball usw. In diesem Fall muss man einen kleineren Abwurfwinkel wählen, damit man die maximale Weite erreicht. Wir werden in diesem Kapitel diesen Winkel für einen reibungs- freien Fall mathematisch herleiten. 1.) Kurze Wiederholung der Überlegungen zu αmax = 45° bei sw. Es gilt:
Man erkennt sofort, dass der Bruch (bei der Vorgabe von v0) am größten wird, wenn sin(2∙α) = sin (90°) = 1 ist, also muss α = 45° sein. 2.) Graphen zu αmax, wenn aus der Höhe h abgeworfen wird. Über die Bahnkurve gibt es einen funktionellen Zusammenhang zwischen der horizontalen Koordinate sx (bzw. x) und der vertikalen Koordinate sy (bzw. y). Es gilt:
Hierzu kann man die
Graphen zeichnen lassen und sich einmal ansehen, wo die
x-Achse (Erdboden) geschnitten wird. Dieser Schnittpunkt gibt die Wurfweite an. Wenn man v0 vorgibt, besteht ein Zusammenhang zu α, der sich im Graphen widerspiegelt. Im Folgenden werden verschiedene Graphen von f(x) für das Beispiel „h = 2 m; v0 = 4 m/s“ in Abhängigkeit von „α“ gezeigt.
___
α = 45°; ____ α = 35°; ___ α = 30°; ___ α = 28,3° Vergrößerung
um den Schnittpunkt:
Man erkennt sofort, dass hier der Winkel a = 45° für die maximale Weite nicht zutrifft, sondern der Winkel im Bereich von 28° für die größte Weite liegt. Dies kann bei Wettkämpfen (z.B. Kugelstoßen) schon einen deutlichen Unterschied in der Rangliste ausmachen. Neben dem Abwurfwinkel spielt natürlich auch die Abwurfgeschwin- digkeit eine maßgebende Rolle. Hierzu folgendes Beispiel: h = 2 m, α = 40°, v0 =
4 m/s; = 4,5 m/s; = 3,5 m/s
Auf wikipedia gibt es hierzu für das Kugelstoßen eine schöne Über-sicht:
Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelsto%C3%9Fen%23/media/Datei:Wurfparabel_Optimalbedingungen.png 2. Herleitung des Winkels für die maximale Wurfweite Allgemeiner
Hinweis: Für
diese Herleitung braucht man umfangreiche Kenntnisse in der Mathematik, vor
allem muss man alle Ableitungsregeln kennen. Einige
Umstellungen für trigonometrische Funktionen können in Tafelwerken
(Additionstheoreme usw.) nachgesehen werden. Um die maximale Weite auszurechnen, braucht man jetzt eine Formel für die horizontale Koordinate der Bahnkurve, in welcher der Winkel α eingetragen ist. Man kennt natürlich: sx = v0 ∙ cos(α) ∙ t . Falls man für t die Flug- zeit tF bis zum Erdboden einsetzt, kann man w = sx(tF) bestimmen. Da tF aber selber von α abhängt, muss man in sx jetzt für tF die Formel mit „α“ einsetzen, dann hat man einen Zusammenhang zwischen „w“ und „α“. Diesen Funktionsterm kann man weiter unter- suchen. Es gilt also:
Die Formel zur Bestimmung des optimalen Winkels
lautet also:
Extra: Linkliste zum Thema
Links zu Kapiteln im „digitalen Physikbuch“, die zum Thema
passen: - Sport
und Physik (Klausuren)
Klausuraufgaben zum Kugelstoß, Basketball, Volleyball und Fußball -
Triple X und Physik (Klausuren)
Klausuraufgaben zum schiefen Wurf bei Triple X - schiefer Wurf Übersichtskapitel zum schiefen Wurf - Übersicht zu den Kapiteln
zur „Bewegung“ |
