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Leistung

 

Durchschnittsleistung

 

Der Begriff „Leistung“ kommt häufig im alltäglichen Sprachgebrauch vor:

„Man leistet viel oder wenig“, „Die Leistung ist ungewöhnlich“ usw.

 

Ein kleines Beispiel zum Einstieg in das Thema:

Der erste Maurer schleppt zwei Zementsäcke in 3 Minuten in den dritten Stock.

Der zweite Maurer schafft drei Zementsäcke in 5 Minuten in den dritten Stock.

Wer hat mehr geleistet?

Zunächst muss man wohl auf die gleiche Zeit zurückrechnen, z.B. auf eine Minute:

Maurer 1: 2/3 Säcke in einer Minute

Maurer 2: 0,6 Säcke in einer Minute

Also schafft der erste Maurer mehr Säcke in einer Minute in den dritten Stock.

Er leistet mehr.

 

Bei der Leistung spielt also die Zeit, in der etwas geschafft wird, eine entscheidende Rolle.

 

Wir erhalten also folgende Definition

 

 

 

Für unser kleines Beispiel gilt: m (Zement) = 50 kg, h = 12 m (3. Stock)

beide Maurer haben jeweils eine Masse von 100 kg

∆ W1 = m ∙ g ∙ h = 2 ∙ 150 kg ∙ g ∙ 12 m = 35 316 J ;    t1 = 180 s

∆ W2 = m ∙ g ∙ h = 3 ∙ 150 kg ∙ g ∙ 12 m = 52 974 J ;    t2 = 300 s

 

 

Der erste Maurer leistet also mehr als der zweite Maurer.

 

Beispielaufgaben

 

 

1. Aufgabe

 

Zwei Schüler rennen im Treppenhaus der Schule um die Wette. Sie

starten im Erdgeschoss und laufen in den zweiten Stock. Der zweite

Stock liegt 10 m höher als das Erdgeschoss. Der erste Schüler hat eine

Masse von 55 kg, der zweite eine Masse von 65 kg. Der erste Schüler

schafft die Strecke in 12 s, der zweite in 15 s.

Wie groß ist die Leistung der einzelnen Schüler?

 

Lösung:

 

 

2. Aufgabe

 

Marcel Kittel ist ein ehemaliger deutscher Radrennfahrer der Tour

de France. Er konnte als Sprinter kurzzeitig eine Leistung von 1900 W

mit dem Rad erreichen. Marcel Kittel möge mit dem Rad von 0 km/h

auf 54 km/h mit maximaler Leistung (gleichmäßig) beschleunigen. Die Gesamtmasse ( Körper + Rad ) soll 95 kg betragen.

 

a.) Wie lange braucht er für den Beschleunigungsvorgang?

 

b.) Wie groß ist die Beschleunigung und welche Strecke legt er während

     der Beschleunigung zurück?

 

Lösung:

 

zu a.) gegeben: P = 1900 W, m = 95 kg, vStart = 0 m/s,

                          vEnde = 54 km/h = 15 m/s

          gesucht: t

 

Die verrichtete Arbeit ist Beschleunigungsarbeit. Es gilt dann

 

Wa = ½ ∙ m ∙ v2 = ½ ∙ 95 kg ∙ (15 m/s)2 = 10 687,5 J

 

mit der Formel zur Leistung ergibt sich

 

 

zu b.) Formeln zur gleichmäßig beschleunigten Bewegung benutzen

 

 

 

Momentanleistung

 

Aus der Mathematik (s Link-Liste) wissen wir, dass der Durchschnittswert

(Mittelwert) der Sekantensteigung (mittlere Änderungsrate) entspricht.

Der Momentanwert ergibt sich aus der Tangentensteigung oder Ableitung

(momentane Änderungsrate).

Bei der Leistung geht es um ein Diagramm, in dem die verrichtete Arbeit W

gegen die Zeit t aufgetragen wird.

In der folgenden Abbildung sieht man noch einmal die Verhältnisse.

Hinweis zu den Gleichungen: „Sekante“ bedeutet Sekantensteigung, „Tangente“ bedeutet Tangentensteigung

 

Für die Momentanleistung heißt dies jetzt:

 

 

Momentanleistung = P ( t ) = W ‘ (t)

 

 

Um die Momentanleistung zu bestimmen, muss man also W(t) kennen.

Dann kann man die Ableitung aufstellen und damit die Leistung berechnen.

Hinweis: Solch ein Fall kommt in der Schule praktisch nicht vor

 

Die Formel kann aber dazu dienen für den Fall einer konstanten Kraft F eine

einfache Formel herzuleiten. Es gilt nämlich dann:

Hinweis: Wir verwenden statt der „Strich-Schreibweise“ die in der Physik übliche „Differenzenschreibweise“ bzw.

„Differentialschreibweise“ oder auch „Leibniz-Notation“ für die Ableitung

 

Falls also F = konstant während der Arbeitsverrichtung, gilt folgende einfache

Formel:

 

 

Falls F = konstant ergibt sich

 

   P ( t ) = F ∙ v(t)       ,  F = konstant

 

 

Beispielaufgabe

 

 

3. Aufgabe:

 

a.) Ein PKW hat eine maximale Leistung von 110 kW und fährt dauerhaft

mit einer Höchstgeschwindigkeit von 216 km/h. Welche Widerstandskraft

muss der PKW überwinden?

 

b.) Es gibt Elektro-PKWs die Leistungen von 400 kW aufbringen können.

Die Masse eines solchen PKWs soll 2 t betragen. Die Leistung soll nur

zur Beschleunigung des PKWs benutzt werden. Der PKW beschleunigt

gleichmäßig aus dem Stand 5 s lang mit maximaler Leistung.

Welche Geschwindigkeit hat er nach 5 s erreicht?

Wie groß ist die Beschleunigung?

Bestimme die Beschleunigungskraft und die Beschleunigungsstrecke.

 

Lösung:

 

zu a.)  gegeben P = 110 kW = 110 000 W,   v = 216 km/h = 60 m/s

           gesucht: Widerstandskraft F

 

Der PKW fährt mit konstanter Geschwindigkeit. Man könnte denken,

dass es nach dem Trägheitssatz keine Kraft geben müsste. Wir haben

aber in diesem Fall keinen reibungsfreien Fall vorliegen. Es gibt Reibung

durch den Luftwiderstand und den Rollwiderstand. Diese abbremsenden Kräfte müssen durch die Motorkraft ausgeglichen werden. Man hat ein

Kräftegleichgewicht vorliegen. Die resultierende Kraft ist tatsächlich

Null.

Uns interessiert aber die Motorkraft, die ja der Widerstandskraft ent-

spricht.

 

zu b.)  gegeben: P = 400 kW = 400 000 W,  m = 2 t = 2000 kg,

                           t = 5 s

                           gleichmäßige Beschleunigung

 

Es wird nur Beschleunigungsarbeit verrichtet. Wir gehen von einem

reibungsfreien Fall aus. Die Beschleunigungsarbeit lässt sich auf zwei

Arten ausdrücken.

 

Es werden die Formeln für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung

benutzt.

 

 

 

 

 

Liste von Links:

 

- https://abimathe.de/lernvideos/die-bedeutung-der-ersten-ableitung/

  Bedeutung der Ableitung, Änderungsrate, Durchschnittwert, Momentanwert

 

- https://www.wienenergie.at/blog/der-mensch-in-watt/

  Leistungsangaben für den menschlichen Körper (hier ok)

Hinweis: viele Angaben über die Leistung des Menschen auf Internetseiten erscheinen

mir falsch zu sein.  Es wird auch immer noch die Einheit kcal oder sogar cal für die Arbeit

benutzt. Auch Trainingsgeräte benutzen häufig diese Angaben. Man sollte bei diesen Angaben vorsichtig sein und genau nachrechnen. Wenn man die Werte in Leistungsangaben in Watt umrechnet, kommt man zu völlig illusorischen Angaben

 

 

 

 

Übungsaufgaben (in Arbeit)

 

 

 

  

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