Kreisbewegungen

 

Eine Kreisbewegung ist natürlich die Bewegung einer Masse m auf einer Kreisbahn.

Zur Erinnerung: Ein Kreis ist eine Linie, deren Punkte alle einen festen Abstand r (Radius) zu einem vorgegebenem Punkt M (Mittelpunkt) haben.

 

Wir wollen uns die einfachste Kreisbewegung ansehen, nämlich die gleichförmige Kreisbewegung.

 

Gleichförmige Kreisbewegung

 

Definition:

Eine gleichförmige Kreisbewegung liegt vor, wenn sich die Masse m mit einer betragsmäßig konstanten Bahngeschwindigkeit v auf der Kreisbahn bewegt.

 

Bahngeschwindigkeit

 

Hier taucht der Begriff „Bahngeschwindigkeit“ auf. Was ist damit gemeint? Dies ist natürlich die Geschwindigkeit, die die Masse auf der Kreisbahn aufweist. Das Besondere bei der Kreisbewegung ist, dass es jetzt sehr wichtig wird, dass die Geschwindigkeit eine vektorielle Größe ist, d.h. das jetzt neben der Länge des Vektors (also seinem Betrag) auch die Richtung zu beachten ist.

Welche Richtung weist der Vektor auf und wie berechnet sich sein Betrag?

Die Richtung des Vektors entspricht der Bewegungsrichtung. Aber in welche Richtung bewegt sich eine Masse in einem Punkt auf der Kreisbahn? Am besten man stellt sich dazu die Umgebung um die Masse stark vergrößert vor. Dann geht die Krümmung der Kreisbahn immer mehr in eine Gerade über und wird schließlich zu einer Tangente an den Kreis in diesem Punkt. Die Bahngeschwindigkeit zeigt also tangential zur Kreisbahn.

Der Betrag der Bahngeschwindigkeit berechnet sich so wie bisher über die zurückgelegte Strecke in einen bestimmten Zeitraum:

 

 

 

 

Die Momentangeschwindigkeit wird hier „Bahngeschwindigkeit“ genannt. Die zurückgelegte Strecke ist hier die Länge des Kreisbogens Δb, der in der Zeit Δt zurückgelegt wird.

 

Es gilt also:

 

 

 

 

Im Allgemeinen wird die Kreisbewegung mindestens über einen Vollkreis gehen, so dass dann gilt:

 

 

 

 

Bei den Formeln wird nur auf den Betrag der Bahngeschwindigkeit eingegangen, der ja

bei einer gleichförmigen Kreisbewegung konstant ist, so dass dann gilt v(t) = v = konstant.

 

Winkelgeschwindigkeit

 

Da die Bahngeschwindigkeit von dem Radius abhängt, wird gerne bei Kreisbewegungen eine neue Größe eingeführt, die sich Winkelgeschwindigkeit ω (t) nennt.

 

Für die Winkelgeschwindigkeit ω (t) gilt:

 

 

 

 

Man beachte, dass der zurückgelegte Winkel im Bogenmaß angegeben wird, so dass für die Einheit gilt:  

 

 

 

 

Für die gleichförmige Kreisbewegung ist natürlich auch ω (t) konstant, also gilt ω (t) = ω.

 

Gehen wir wieder davon aus, dass mindestens ein Vollkreis überstrichen wird, kann man ω berechnen mit

 

 

 

 

Man erkennt sofort, dass es einen Zusammenhang zwischen v und ω gibt, wenn man sich die Formel für den Vollkreis anschaut.

Es gilt offensichtlich:

 

 

 

 

Frequenz

 

Eine weitere wichtige neue Größe, die bei Kreisbewegungen auftritt, ist die Frequenz f.

Die Frequenz ist festgelegt mit:

 

  

 

 

Die Umlaufdauer T ist ja (s.oben) die Zeitdauer für das Durchlaufen eines vollenKreises.

Wenn man also n Umläufe in der Zeit t hat, ergibt sich folgender Zusammenhang:

 

 

 

 

 

Die Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit lassen sich mit f jetzt also auch so schreiben:

 

 

 

 

Radialkraft oder Zentripetalkraft

 

Wir kommen jetzt zum zentralen Punkt bei der Kreisbewegung, nämlich der Zentripetalkraft.

Diese Kraft ist dafür verantwortlich, dass die Masse auf die Kreisbahn gezwungen wird.

Nach dem ersten Newtonschen Axiom, dem Trägheitssatz, bleibt ein Körper, wenn keine Kraft auf ihn einwirkt, in Ruhe oder in einer geradlinigen gleichförmigen Bewegung. Bei der Kreisbewegung, die ja nicht zu den Bewegungsformen aus dem Trägheitssatz gehört, muss also eine Kraft herrschen.

Gleichzeitig gilt natürlich auch das zweite Newtonsche Axiom, das einen Zusammenhang zwischen der Kraft und der Beschleunigung aufstellt: eine Kraft führt immer zu einer Beschleunigung. Es gilt:

 

 

 

 

Wenn es also nach 1.Newtonschen Axiom eine Kraft gibt, dann muss bei der gleichförmigen Kreisbewegung nach dem 2.Axiom eine Beschleunigung vorliegen. Dies hört sich zunächst merkwürdig an, da doch die Bahngeschwindigkeit konstant bleibt. Eine Beschleunigung liegt doch erst vor, wenn sich die Geschwindigkeit mit der Zeit ändert. Dies sieht zunächst nach einem Widerspruch aus.

Jetzt wird es besonders wichtig, dass die Geschwindigkeit eine vektorielle Größe ist, also eine Größe, bei der auch die Richtung wichtig ist und nicht nur ihr Betrag. Ändert sich die Geschwindigkeitsrichtung, dann ist dies auch eine Änderung der Geschwindigkeit, nämlich des Geschwindigkeitsvektors. Bei der Kreisbewegung ändert sich laufend die Richtung des Geschwindigkeitsvektors, da er ja immer tangential zum Kreis zeigt.

Aus diesen Überlegungen kann man auf theoretischem Weg eine Formel für die Beschleunigung, die hier Zentripetalbeschleunigung az genannt wird, herleiten.

 

Wir wollen einen praktischen Weg wählen, da uns im Allgemeinen an dieser Stelle noch die Vektorrechnung fehlt. Praktisch heißt, dass wir die Abhängigkeit der Zentripetalbeschleunigung von verschiedenen Größen untersuchen und aus den Ergebnissen der Messungen eine Formel für az aufstellen.

 

Versuche zur Zentripetal- bzw. Radialbeschleunigung

Wir benutzen für unsere Versuche das Handy. Jedes Handy besitzt für die Lagebestimmung im Raum einen Beschleunigungssensor. Die Daten dieses Sensors können über Apps ausgelesen werden. Eine sehr bekannte App ist „phyphox“ von der RWTH Aachen.

Man braucht jetzt nur noch einen Motor, dessen Drehzahl geändert werden kann. Dieser Motor treibt direkt oder indirekt einen Aufbau an, der aus einer Schiene besteht, die im Kreis gedreht werden kann. Auf dieser Schiene wird das Handy sicher befestigt. Also ein ziemlich einfacher Aufbau, den man z. Bsp. auch zu Hause mit einer Bohrmaschine durchführen könnte.

 

Messergebnisse:

1.) a in Abhängigkeit von T, r bleibt konstant

T wird mit einer normalen Stoppuhr z.B. vom Handy gemessen.

a wird in der App. abgelesen, am besten als Mittelwert aller Messungen oder als Mittelwert im Diagramm.

Eine Auswertung mit Excel ergibt: a gegen T gibt eine gekrümmte Linie (Hyperbelmäßig); a gegen 1/T^2 ergibt die Ursprungsgerade, also ist a proportional zu1/T^2.

 

 

 

2.) a in Abhängigkeit von r, T bleibt konstant

 

 

r muss von der Drehachse bis zum Mittelpunkt des Handys gemessen werden, da der Beschleunigungssensor genau in der Mitte des Handys angebracht ist.

Die Drehzahl wird konstant einstellt.

 

 

a ist also proportional zu r, da beim Auftrag sofort eine Ursprungsgerade auftritt.

 

Wie üblich werden die Einzelabhängigkeiten durch Produktbildung zusammengeführt.

Es gilt also zusammenfassend:

 

 

 

 

 

Es bleibt jetzt noch übrig, die Proportionalitätskonstante k zu bestimmen. Hierzu gibt es verschiedene Möglichkeiten:

Wir wählen hierzu die zweite Messreihe. Aus der zweiten Messreihe ergibt sich:  a = kr · r, wobei kr = k/T^2 ist. Es gilt also:

 

 

 

 

Da es sich um Versuchsergebnisse handelt, erhält man natürlich nicht den exakt richtigen Wert für die Konstante k. Dies wäre nur mit der theoretischen Herleitung möglich.

Wir halten also fest: 

 

 

 

 Mit der Grundgleichung der Mechanik und dem obigen Ergebnis für a gilt also:

 

 

 

Für den Betrag der Zentripetalkraft F gelten also obige Formeln. Die Kraft ist aber eine vektorielle Größe, muss somit also eine Richtung haben, die der Richtung der Beschleunigung entspricht ( s. Grundgleichung der Mechanik).

Welche Richtung liegt nun vor? Da wir uns hier nur mit der gleichförmigen Kreisbewegung beschäftigen, bei der ja der Geschwindigkeitsbetrag sich nicht ändert, muss die Kraft senkrecht zu v zeigen, sonst würde die Kraft zu einer Veränderung des Betrages der Geschwindigkeit führen.

Die Kraft muss also senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor zeigen und ist so gerichtet, dass der Körper auf die Kreisbahn gezwungen wird. Da bleibt nur die radiale Richtung übrig, d.h. die Kraft zeigt radial zum Mittelpunkt des Kreises.

 

Hier noch einmal eine Zusammenfassung in einer Abbildung:

 

 

Beispielaufgaben

1.) Bewegung des Mondes um die Erde

Daten:

- mittlere Entfernung des Mondes von der Erde: 384400 km = 3,844 *10^8 m

- siderische Umlaufzeit um die Erde: 27,32 d = 2 360 448 s

- Masse: 7,35*10^22 kg

Berechnungen: