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Elektrischer Schwingkreis 5 (Extra-Kapitel) Gedämpfter
elektrischer Schwingkreis Vorbemerkungen In den bisherigen Kapiteln haben wir uns vor allem um einen Schwing- kreis ohne Ohmschen Widerstand gekümmert,
also eine ungedämpfte elektrische Schwingung. Dies ist natürlich nicht der Normalfall, aber eben deutlich einfacher mathematisch zu behandeln. Im Folgenden wird es nun um den realen Fall der gedämpften Schwingung gehen. Da die Spule im Stromkreis immer einen Ohmschen
Widerstand R aufweist, liegt dieser Zustand eigentlich immer vor. Aus mathematischer Sicht ist dieser Fall aber deutlich komplexer und somit nur Zusatzstoff für die Physik in der Oberstufe. Experiment Schauen wir uns noch einmal reale Versuchsergebnisse zum Schwing- kreis an.
Bemerkung: Man sieht, dass die beiden Zeiger für Stromstärke und Spannung zunächst große Ausschläge anzeigen, die dann immer kleiner werden bis es keinen Ausschlag mehr gibt. (Hinweis: der Nullpunkt des Amperemeters liegt bei 5 mA in der Mitte,
der Lehrer hatte wohl kein Amperemeter mit einer mittigen Nullstellung). Schlussfolgerung: Zunächst liegen große Werte für Stromstärke und Spannung vor, die dann immer kleiner werden bis beide Werte Null anzeigen. Dies ist der typische Verlauf einer gedämpften Schwingung. Ein großer Teil der von außen zugeführten Energie
geht für den Schwin- gungsvorgang am Ohmschen
Widerstand als Wärme verloren. Das folgende Video zeigt einmal den zeitlichen graphischen Verlauf einer solchen Schwingung.
Bemerkung: Hier sieht man eine geringe Dämpfung. Es liegt ein periodischer Vorgang (Kosinus-Funktion) vor, wobei die Amplituden des Ausschlags immer geringer werden. (Hinweis: bei H. Butsch sieht es nach einer Sinus-Funktion aus, weil
er indirekt die Stromstärke I(t) = Q`(t) misst) Welche Funktion bestimmt nun den Abfall der Amplitude? Hierzu hat Thorsten Butsch sein Diagramm im Anhang zur Verfügung gestellt. Im Folgenden sieht man eine Kopie:
Vermutung: Es dürfte sich um einen exponentiellen Abfall handeln. Um dies zu kontrollieren, werten wir einmal die Messwerte aus. Wir beginnen bei der ersten Amplitude, dann weiter mit der zweiten Amplitude usw. Die Amplituden haben alle denselben Abstand von- einander (ca. 1 cm) Es ergibt sich für die Höhe der Amplituden in cm: 6,35 cm, 5,25 cm, 4,35 cm, 3,6 cm, 3,0 cm, 2,4 cm, 2,0 cm, 1,6 cm, 1,35 cm. Sollte es sich um eine exponentielle Abnahme handeln, müsste der Faktor zwischen benachbarten Werten in etwa gleich groß sein. Dies zeichnet eine Exponentialfunktion aus. Es ergeben sich folgende Faktoren: 0,83; 0,83; 0,83; 0,83; 0,80; 0,83; 0,80; 0,84 Das Ergebnis passt also sehr gut zu einer Exponentialfunktion. Funktionsgleichung und DGL Es macht also Sinn für die Funktion, die den Verlauf beschreibt, einen Ansatz von der Form Q(t) = Q0
∙ e− δ ∙ t ∙ cos (ω∙t)
mit Q0
= Startamplitude; δ = Dämpfungskonstante,
ω = Winkelfrequenz = 2 ∙ π ∙ f
; f = Frequenz zu machen. „cos (ωt)“ gibt also den periodischen Verlauf
wieder und „e−δ∙t“
die exponentielle Abnahme von Q0 (Anfangsamplitude). In der Messung ist normalerweise UC(t) abgebildet oder wie
bei T. Butsch I(t). Die Differentialgleichung wird aber im Folgenden mit Q(t) aufgestellt und zwischen Q(t) und UC(t) besteht ja der einfache
Zusammenhang Q(t) = C ∙ Uc(t), so dass
man diese Gleichung anstelle von Uc(t) wählen kann. Um den Ansatz zu kontrollieren, muss er die zugehörige Differential- gleichung erfüllen. Wir werden also
zunächst die DGL herzuleiten. Dazu schauen wir uns noch einmal den Aufbau eines Schwingkreises an.
Der Schwingkreis ist der obere Stromkreis dieser Abbildung. Der untere Teil dient nur zum Aufladen des Kondensators. Wenn der Schalter nach oben zeigt, beginnt die Schwingung im oberen Strom- kreis. Herleitung der DGL:
Die allgemeine Lösung dieser DGL kann man in einschlägigen Büchern zu Differentialgleichungen nachlesen. Es geht darum die Nullstellen eines charakteristischen Polynoms zu finden. Dies führt aber weit über den Stoff der Oberstufenphysik (selbst eines LKs) hinaus. Wir werden jetzt nur durch Einsetzen unserer vermuteten Lösung zeigen, dass die DGL damit gelöst wird.
Zusammenfassung
Wir kontrollieren unsere Ergebnisse einmal am obigen Beispiel von Herrn Butsch. 1. Frequenz: Das Diagramm ergibt eine Frequenz von ca. 1 Hz (1 cm ≡ 0,5 s; im Diagramm beträgt eine Schwingung ziemlich
genau 2 cm, also T = 1 s, was f = 1/T = 1 Hz entspricht) Rechnung:
2. Dämpfungsfaktor: Aus den Messwerten (s.o.) ergibt sich für t = 0,5 s in etwa ein Dämpfungsfaktor q = e−δ∙t
= 0,83 Rechnung:
Gründe: Es muss irgendwo weitere Verluste geben, z.B. magnetische Verluste oder versteckte Ohmsche Widerstände oder zu hohe Träg- heit des XY-Schreibers. Dies müsste noch einmal
genauer untersucht werden. Diagramm der geringen Dämpfung (Werte von T. Butsch):
Extremfälle (Kriechfall, Aperiodischer Grenzfall) Wir werden für diese beiden Extremfälle nur die Ergebnisse angeben. Genaueres erfährt man in einschlägiger Literatur zur Lösung von Differentialgleichungen. 1. Aperiodischer Grenzfall Bisher (beim leicht gedämpften Schwingfall) galt ω > 0, d.h.
δ2 < 1/CL Im aperiodischen gilt δ2 = 1/CL, somit
wird ω = 0 Hz. Es kann also kein periodischer Vorgang mehr vorliegen. In diesem Fall gilt für die Lösung der DGL:
Diagramm (Werte von T. Butsch mit R = 7938 Ω)
2. Kriechfall In diesem Fall der extremen Dämpfung gilt δ2 >
1/CL, also die Wurzel beim leicht gedämpften Fall für ω wäre negativ. Dann gilt:
Diagramm des Kriechfalls (Werte von T. Butsch mit R = 10 000Ω)
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