Quelle: Blog aus Spektrum der Wissenschaft

von Michael Khan, 09. Oktober 2012, 12:00

+++ Nachtrag vom 15.10. am Ende des Artikels +++ Bekanntlich will der österreichische Extremsportler Felix Baumgartner heute den Versuch wagen, bei einem Fallschirmabsprung aus mehr als 37 km Höhe im freien Fall die Schallmauer zu durchbrechen. Na, dann rechnen wir doch mal nach.

Mittel der Wahl ist für einen Ingenieur die numerische Integration der Trajektorie. Für die atmosphärischen Daten - Dichte, Druck und Temperatur - nehme ich das U.S.-Standardatmosphärenmodell. Ich gebe eine Absprunghöhe vor. Für meine Berechnungen wurden die Werte 37 km (nahe an der Höhe, aus der Baumgartner abspringen will), 50 km, 70 km und 100 km angesetzt ... letztere Werte sind von Interesse für Alle, die sich mit dem Gedanken tragen, Baumgartners Sprung zu toppen.

Ferner nehme ich an, dass der Springer eine Masse von 90 kg hat, einen Widerstandsbeiwert von 1 und eine aerodynamische Querschnittsfläche von 1 qm. Das sind natürlich nur Schätzungen. Schauen wir mal:

Velocity of a hypothetical parachutist for different jump altitudes, source: Michael Khan

Zunächst die Geschwindigkeit in km/h, angefangen bei 0 am jeweiligen Absprungpunkt, dann zunächst ungebremst ansteigend, bis zwischen 50 und 30 km der Luftwiderstand stark wird, und von dort an immer langsamer in Richtung einer Gleichgewichtsgeschwindigkeit von etwa 250 km/h. Spitzengeschwindigkeit schon bei 37 km Absprunghöhe über 1000 Stukis, trotz meiner wahrscheinlich zu konservativen  Annahmen zum Luftwiderstand.

Mach number of a hypothetical parachutist for different jump altitudes, source: Michael Khan

Die Machzahl errechnet sich aus der Geschwindigkeit und der lokalen Schallgeschwindigkeit, die eine Funktion der Temperatur ist. Laut meinen Berechnungen reicht es zwar nicht ganz für Mach 1, aber wenn Baumgartner sich anfangs ganz klein und kompakt macht, dürfte da noch etwas herauszuholen und die Schallmauer zu knacken sein.

Alle, die Mach 2 im freien Fall anpeilen, sollten sich das aber gut überlegen, denn dafür müssen sie schon aus 70 km Höhe abspringen. Mach 3 ist eigentlich kaum zu schaffen. Dazu müsste man schon einen Flug auf Virgin Galactic buchen und bei Erreichen der Gipfelhöhe die Tür aufmachen und aussteigen. Da hat bestimmt Richard Branson etwas dagegen.

Convective and radiative heat flux for a hypothetical parachutist for different jump altitudes, source: Michael Khan

Bei solchen Geschwindigkeiten stellt sich irgendwann die Frage nach der Reibungshitze. Diese ist notorisch schwierig zu berechnen, deswegen versuche ich es erst gar nicht, sondern beschränke mich auf den Wärmestrom (hier nur konvektiv ... sollte es zu einer solchen Erwärmung der umgebenden Luft kommen, dass radiativer Wärmeaustausch ein Thema wird, dann sollte man ohnehin von einem Sprung absehen).

Wer sich in große Höhen begint, wird einen Druckanzug brauchen. Bei Baumgartners Sprung liegt die thermische Belastung bei maximal 500 W/qm - da gleichzeitig auch der Luftstrom Wärme abführt, dürfte das noch kein Problem sein.

Anders sieht es bei noch größeren Absprunghöhen aus. Wer die Mach-2-Marke knacken will, muss mit 4 kW/qm rechnen, also etwa 3 mal so viel wie das, was bei voller Sonneneinstrahlung auf eine Fläche einwirkt. Wenn man von 100 km Höhe abspringt, dann sind es sogar 10 kW/qm.

Also, das würde ich mir dann aber gut überlegen.


Nachtrag vom 15.10.2012

Kalibrierung der Eingangsdaten nach dem Sprung

So, nun ist Felix Baumgartners Sprung Geschichte und wir wissen: Er hat es geschafft und die Schallmauer wurde im freien Fall ohne Antrieb geknackt. Mit den Daten zum tatsächlichen Sprung kann man auch die Rechnung kalibrieren, gemäß der alten Ingenieursweisheit, nach der es immer einfacher ist, etwas auszurechnen, wenn man schon vorher weiß, was herauskommen wird.

Die Eckdaten des Sprungs: Absprunghöhe 39.054 km, erreichte Höchstgeschwindigkeit 373.4 m/s (=1344 km/h), Erreichte Machzahl: 1.24. Wie bereits zuvor angesprochen: die wesentlichen Eingangsparameter sind Masse, aerodynamischer Querschnitt und Widerstandsbeiwert. Allerdings gehen diese immer gemeinsam in die Berechnung ein, sodass es Sinn macht, sie zu einem Parameter zusammenzufassen. Da bietet sich der ballistische Parameter an: B=m/(cD*A).

In meiner Anfangsschätzung wäre B als 90 kg/ (1 * 1 m2) = 90 kg/m2 herausgekommen. Wenn man sich aber den Körperbau und die Muskelmasse von Felix Baumgartner anschaut und die Ausrüstung, die er mitschleppt, dann ist klar, dass das nicht reicht. Dafür habe ich wohl bei der Querschnittsfläche etwas zu hoch gegriffen. Was den Widerstandbeiwert angeht - eigentlich darf man den nur als konstant annehmen, wenn die Geschwindigkeit hinreichend weit unterhalb von Mach 1 bleibt. Ansonsten kämen bei hoher Unterschallgeschwindigkeit noch transsonische Effekte hinzu, oberhalb von Mach 1 dann der Wellenwiderstand. Tun wir aber mal vereinfachend so, als sei der Widerstandbeiwert und damit der ballistische Parameter dennoch konstant.

Wenn ich den ballistischen Parameter nun anpasse, sodass die in der numerischen Simulation erreichte Spitzengeschwindigkeit dem erreichten Wert gleicht (d.h., wenn ich die Eingangsparameter meines numerischen Modells kalibriere, was viel wissenschaftlicher klingt, aber dasselbe ist), dann komme ich auf B=185 kg/m2. Dies wäre dann der Fall, wenn die Masse 130 kg beträgt und die Querschnittsfläche bei 0.7 m2 liegt - beides durchaus plausible Werte.